Question

12．現(xiàn)有四分之一圓形的紙板（如圖），∠AOB=90°，圓半徑為1，要裁剪成四邊形OAPB，且滿(mǎn)足AP∥OB，∠OAB=30°，∠POA=θ，記此四邊形OAPB的面積為f（θ），求f（θ）的最大值．

Answer 1

分析 利用已知條件列出梯形的面積的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的最值求法求解即可．

解答 解：∵在直角梯形OAPB中，有AP=sinθ，OA=cosθ，$OB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}cosθ$
∴${S_{OAPB}}=\frac{1}{2}（|{OB}|+|{AP}|）•|{OA}|=\frac{1}{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{3}cosθ+sinθ）•cosθ$-----（4分）
=$\frac{1}{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{3}{cos^2}θ+sinθ•cosθ）=\frac{1}{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{3}\frac{1+cos2θ}{2}+\frac{1}{2}sin2θ）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}sin（2θ+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．-----（8分）
又∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，則$\frac{π}{6}＜2θ+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，面積取得最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問(wèn)題的處理方法，三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．