Question

13．已知曲線C₁的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），且離心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，曲線C₂的方程為x²+y²=8，若曲線C₁與C₂的四個交點圍成面積為16的矩形．
（1）求曲線C₁的標準方程；
（2）若曲線C₁上總存在關于直線l：y=x+m對稱的兩點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設交點為（x，y），由題意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2b，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，可得x²+4y²=4b²①，又x²+y²=8②，2x•2y=16③，解方程組，即可求曲線C₁的標準方程；
（2）根據(jù)對稱性可知線段AB被直線y=x+m垂直平分，且AB的中點M（x₀，y₀）在直線y=x+m上，故可設直線AB的方程為y=-x+b，聯(lián)立方程，結合方程的根與系數(shù)關系可求中點M，由△＞0可求b的范圍，由中點M在直線y=x+m可得b，m的關系，從而可求m的范圍．

解答 解：（1）設交點為（x，y），則
由題意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2b，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，可得x²+4y²=4b²①，
又x²+y²=8②，2x•2y=16③，
∴由①②③可得x=y=2，b=$\sqrt{5}$，
∴曲線C₁的標準方程$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）設橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$上存在關于直線y=x+m對稱的兩點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
根據(jù)對稱性可知線段AB被直線y=x+m垂直平分，且AB的中點M（x₀，y₀）在直線y=x+m上，且K_AB=-1
故可設直線AB的方程為y=-x+b
聯(lián)立方程，整理可得5x²-8bx+4b²-20=0
∴x₁+x₂=$\frac{8b}{5}$，y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=$\frac{2b}{5}$
由△=64b²-20（4b²-20）＞0可得-5＜b＜5
∴x₀=$\frac{4b}{5}$，y₀=$\frac{5}$
∵AB的中點在直線y=x+m上
∴$\frac{5}=\frac{4b}{5}+m$，
∴m=-$\frac{3b}{5}$
∴-3＜m＜3．

點評 本題主要考查橢圓的方程，考查了直線與橢圓的位置關系的應用，解題的關鍵是靈活應用已知中的對稱性設出直線方程，且由中點在y=x+m上建立m，b之間的關系，還要注意方程的根與系數(shù)的關系的應用．