Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，且PA=AB=1，CD=$\sqrt{2}$，AD=2．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求異面直線PB與CD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由題意可知棱錐底面為直角梯形，結(jié)合已知求出BC，得到底面面積，代入棱錐體積公式得答案；
（2）連接BE，PE，可得∠PBE為異面直線PB與CD所成角，然后通過解直角三角形得答案．

解答 解：（1）如圖，
在底面四邊形ABCD中，∵AB⊥AD，BC∥AD，
∴四邊形ABCD為直角梯形，
過C作CE⊥AD于E，設(shè)BC=x，
∵AD=2，AB=1，CD=$\sqrt{2}$，
∴DE=2-x，CE=1，則$（2-x）^{2}+{1}^{2}=（\sqrt{2}）^{2}$，
解得：x=1或x=3（舍）．
∴BC=1．
又PA=1．
則${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×1×1=\frac{1}{2}$；
（2）連接BE，PE，
由BC∥DE，BC=DE，可得四邊形BCDE為平行四邊形，∴BE∥CD．
則∠PBE為異面直線PB與CD所成角．
在Rt△PAB中，∵PA=AB=1，∴PB=$\sqrt{2}$．
在Rt△PAE中，∵PA=AB=1，∴PE=$\sqrt{2}$．
在△PBE中，由PB=PE=$\sqrt{2}$，BE=$CD=\sqrt{2}$，
∴∠PBE=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查了異面直線所成的角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．