Question

13．已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)G（0，-1），動圓M的圓心軌跡為橢圓E，且與圓Q：x²+（y-1）²=8內(nèi)切，已知點(diǎn)S是橢圓E是一個(gè)動點(diǎn)，又點(diǎn)T（0，m）．求|ST|的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)圓M與圓Q的切點(diǎn)為N，分析可得：|MQ|+|MG|=|MN|=2$\sqrt{2}$，進(jìn)而可以求出橢圓的方程并求出橢圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，對點(diǎn)T（0，m）的位置分情況討論，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)圓M與圓Q的切點(diǎn)為N，則有|MN|=2$\sqrt{2}$，
分析可得：|MQ|+|MG|=|MN|=2$\sqrt{2}$，
則M的軌跡為焦點(diǎn)為（0，1）、（0，-1）的橢圓，且a=$\sqrt{2}$，c=1；
故橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1，
該橢圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$）、（0，-$\sqrt{2}$），
又點(diǎn)T（0，m），
分析可得：當(dāng)m≥0時(shí)，點(diǎn)S的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$），|ST|取得最小值，且最小值為|m-$\sqrt{2}$|，
當(dāng)m＜0時(shí)，點(diǎn)S的坐標(biāo)為（0，-$\sqrt{2}$），|ST|取得最小值，且最小值為|m+$\sqrt{2}$|．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先求出橢圓的方程，并結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析；注意求|ST|的最小值需要分類討論．