Question

若等差數(shù)列{a_n}滿足a₇=p,a₁₄=q(p≠q)，求a₂₁.

Answer 1

思路分析一：等差數(shù)列{a_n}的公差d顯然不為零，此時通項a_n=a₁+（n-1）d=dn+(a₁-d)是關(guān)于n的一次函數(shù)，表現(xiàn)在圖象上是直角坐標(biāo)系中一些孤立的點(diǎn).在不知道首項和公差的情況下，不妨設(shè)a_n=kn+b(k≠0)，則有k=(此處k=d).

解法一：由題意得公差d≠0，故設(shè)a_n=dn+b(b=a₁-d為常數(shù))是關(guān)于n的一次函數(shù)，

∴（7,p），（14，q）是直線y=dx+b上的點(diǎn).

設(shè)a₂₁=y₀，則點(diǎn)（21，y₀）也是直線y=dx+b上的點(diǎn).

∴有d=

即

解得y₀=2q-p,即a₂₁=2q-p.

思路分析二：可以先求出公差，再求通項而得解，或用a₂₁=a₇+14d.

解法二：∵a₁₄-a₇=7d，

∴d=

∴a_n=a₇+(n-7)d，

∴a₂₁=a₇+14d=p+2(q-p)=2q-p.