Question

3．曲線C是由方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（y≥0）的弧線及方程為y=$\frac{1}{4}（{x}^{2}-{a}^{2}）$（y＜0）的弧線構成的封閉曲線，若點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（-c，0），F(xiàn)（0，-3）為等邊三角形的三個頂點（其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$），橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在過原點的直線l與曲線C交于不在x軸上的A，B兩點，使得$\overrightarrow{{F}_{1}A}=\overrightarrow{B{F}_{2}}$，若存在，求出該直線的斜率，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等邊三角形性質得c=$\sqrt{3}$，由橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，得a=4，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）若存在這樣的直線，則四邊形F₁AF₂B是平行四邊形，由對稱性，過原點的直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1的交點都符合，設這樣的直線l與$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1，（y≥0）交于A點，與y=$\frac{1}{4}$（x²-16）（y＜0）交于B點，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}=1}\\{y=\frac{1}{4}（{x}^{2}-16），（y＜0）}\end{array}\right.$，得B點坐標，由此能求出結果．

解答 解：（Ⅰ）∵點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），F(xiàn)（0，-3）為等邊三角形的三個頂點，
∴$\sqrt{3}c=3$，解得c=$\sqrt{3}$，
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴a=4，
∴b²=${4}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}$=13，
∵曲線C是由方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（y≥0）的弧線及方程
為y=$\frac{1}{4}（{x}^{2}-{a}^{2}）$（y＜0）的弧線構成的封閉曲線，
∴曲線C的方程為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}=1，y≥0}\\{y=\frac{1}{4}（{x}^{2}-16），y＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）若存在這樣的直線，則四邊形F₁AF₂B是平行四邊形，
由對稱性，過原點的直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1的交點都符合，
設這樣的直線l與$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1，（y≥0）交于A點，與y=$\frac{1}{4}$（x²-16）（y＜0）交于B點，
則B是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1與y=$\frac{1}{4}$（x²-16），（y＜0）的交點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}=1}\\{y=\frac{1}{4}（{x}^{2}-16），（y＜0）}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{13}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
由圖形知B（-$\sqrt{3}$，-$\frac{13}{4}$），或B（$\sqrt{3}，-\frac{13}{4}$）符合，
∴這樣的直線的斜率為$\frac{-\frac{13}{4}}{-\sqrt{3}}$=$\frac{13}{12}\sqrt{3}$或$\frac{-\frac{13}{4}}{\sqrt{3}}$=-$\frac{13}{12}\sqrt{3}$，
∴這樣的直線l存在，其斜率為$\frac{13}{12}\sqrt{3}$或-$\frac{13}{12}\sqrt{3}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．