Question

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)．

(1)求a1，a2；

(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并給出證明．

Answer 1

 (1)當n＝1時，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，

∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

解得a1＝.當n＝2時，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

∴(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.

(2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.

由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

猜想Sn＝ (n∈N*)．

下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論．

①當n＝1時，結(jié)論成立．

②假設n＝k(k∈N*，k≥1)時結(jié)論成立，即Sk＝，當n＝k＋1時，

Sk＋1＝＝＝.

即當n＝k＋1時結(jié)論成立．

由①②知Sn＝對任意的正整數(shù)n都成立．