Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）求函數(shù)在上的最小值；

（3）證明：，都有．

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程可得切線方程為

(2)分類討論可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，

(3)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論和不等式的特點(diǎn)研究函數(shù)的最值即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）時(shí)，

切線斜率，切點(diǎn)為，切線方程為

（2），令

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

；

②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；

③當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

（3）要證的不等式兩邊同乘以，則等價(jià)于證明

令，則由（1）知

令，則，當(dāng)時(shí)，，遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞增減；

所以，且最值不同時(shí)取到，即

，都有。