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已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f(x)滿足，試證明：

(1)f(0)=1及；

(2)(nÎ N*，n≥2)；

(3)若x＞0時，f(x)＞1，則f(x)在R上單調(diào)遞增．

答案：略
解析：

證明：令，由題意得．

∵f(x)是非0函數(shù)，則，

∴．

=，

∴．

(2)f(nx)=f[x＋(n－1)x]

=f(x)·f[(n－1)x]

=f(x)·f[x＋(n－2)x]

=

=…=

=

=．

(3)令，則．

∵x＞0時，f(x)＞1，∴．

又∵，

∴，

由函數(shù)單調(diào)性定義知，函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增．


提示：

解決抽象函數(shù)問題最常用的方法是賦值法，對，賦予一定的值，變量替換，從而可研究出其他的一些性質(zhì)．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f（x），當x＞0時，滿足f（x）＞1，且對于任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）證明f(-x)=-
1f(x)
； 
（3）證明函數(shù)y=f（x） 是R上的增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f（x），當x＞0時，滿足f（x）＞1，且對于任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）證明數(shù)學公式；
（3）證明函數(shù)y=f（x） 是R上的增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f（x），當x＞0時，滿足f（x）＞1，且對于任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）證明f(-x)=-
1
f(x)
； 
（3）證明函數(shù)y=f（x） 是R上的增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省衡陽八中高一（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f（x），當x＞0時，滿足f（x）＞1，且對于任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）證明； 
（3）證明函數(shù)y=f（x） 是R上的增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：0118 期中題 題型：解答題

已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f（x），當x＞0時，滿足f（x）＞1，且對于任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）。
（1）求f（0）的值；
（2）證明f（-x）=；
（3）證明函數(shù)y=f（x）是R上的增函數(shù)。

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