Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的一個端點為B且，直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點的動直線l交橢圓C于M、N兩點．問：是否存在一個定點T，使得以MN為直徑的圓恒過點T？若存在，求點T坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，得x²+（2b-4）x+b²=0，因直線y=x-b與拋物線y²=4x相切，△=（2b-4）²-4b²=0，解得b=1．由短軸的一個端點為B且，知a=b=．由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當l與x軸平行時，以MN為直徑的圓的方程：．當l與x軸垂直時，以MN為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由解得兩圓公共點（0，1）．因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）．（ⅰ）當直線L斜率不存在時，以MN為直徑的圓過點T（0，1）；（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設(shè)直線l：y=kx-，由，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，記點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由韋達定理和向量數(shù)量積公式能推導(dǎo)出TM⊥TN，綜合（�。�（ⅱ），以MN為直徑的圓恒過點T（0，1）．
解答：解：（Ⅰ）由，得x²+（2b-4）x+b²=0，
因直線y=x-b與拋物線y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，
∴b=1．…2分
∵短軸的一個端點為B且，
∴a=b=．…4分
故所求橢圓方程為．…5分
（Ⅱ）當l與x軸平行時，以MN為直徑的圓的方程：．
當l與x軸垂直時，以MN為直徑的圓的方程：x²+y²=1．
由解得，
即兩圓公共點（0，1）．
因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）…7分
（�。┊斨本�L斜率不存在時，以MN為直徑的圓過點T（0，1）
（ⅱ）若直線L斜率存在時，可設(shè)直線l：y=kx-，
由，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
記點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則．…9分
∵，
∴
=
=（1+k²）x₁x₂-    
=
=0．
∴TM⊥TN，…11分
綜合（�。�（ⅱ），以MN為直徑的圓恒過點T（0，1）．…12分
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．