Question

15．在△ABC中，若2$\overrightarrow{OA}$-3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{O}$，則△AOB，△AOC，△ACB的面積之比為（　　）

• A． 5：3：4
• B． 3：5：10
• C． 4：3：5
• D． 5：3：10

Answer 1

分析 如圖，根據(jù)相似比及面積的計(jì)算公式可得S_△AOB=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD，S_△AOC=$\frac{1}{5}$S_△AOD=$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD，S_△ACB=S_△AOB+S_△BOC-S_△AOC=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD+$\frac{1}{3×5}$S_△B'OD-$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD=$\frac{2}{15}$S_△B'OD，計(jì)算即可．

解答 解：如圖，根據(jù)題意，作$\overrightarrow{O{A}^{′}}=2\overrightarrow{OA}$，
$\overrightarrow{OB′}=3\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC′}=5\overrightarrow{OC}$，
$\overrightarrow{OD}=-5\overrightarrow{OC′}$，連結(jié)AD、AC′，
則根據(jù)相似比及面積的計(jì)算公式，可得
S_△AOB=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD=$\frac{1}{6}$S_△B'OD，
S_△AOC=$\frac{1}{5}$S_△AOD=$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD=$\frac{1}{10}$S_△B'OD，
S_△ACB=S_△AOB+S_△BOC-S_△AOC
=$\frac{1}{3×2}$S_△B'OD+$\frac{1}{3×5}$S_△B'OD-$\frac{1}{5×2}$S_△B'OD
=$\frac{2}{15}$S_△B'OD，
因此S_△AOB：S_△AOC：S_△ACB=$\frac{1}{6}$S_△B'OD：$\frac{1}{10}$S_△B'OD：$\frac{2}{15}$S_△B'OD
=5：3：4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用、向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．屬中檔題．