Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，分析的單調(diào)性.

（2）若對(duì)，都有恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)均成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；（2）；（3）證明見解析

【解析】

(1)直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可;

(2)對(duì)求導(dǎo)后,再根據(jù)的取值進(jìn)行分情況討論即可;

(3)題目可變形為證明不等式恒成立,又由(1)可得在恒成立,則令,即有,據(jù)此即可推出結(jié)論.

(1),,,,

故在上恒成立,

所以的單調(diào)增區(qū)間為,無減區(qū)間.

(2).

∵,∴,

故:①當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,

而,∴,不符合題意;

②當(dāng)時(shí),即,在上單調(diào)遞增,

而,∴符合題意;

③當(dāng)時(shí),,,在上單調(diào)遞減,

而,∴此時(shí),不符合題意;

綜上所述,的取值范圍為.

(3)證明:要證明,

等價(jià)于證明,

由(1)可得在恒成立,

令,,則,

∴,

∴

∴成立,

∴成立.