Question

15．如圖，在四棱錐中P-ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，PA=2．
（1）求證：AB⊥PC；
（2）在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M-AC-D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABCD是直角梯形，推導出AB⊥AC，PA⊥AB，從而AB⊥平面PAC，由此能證明AB⊥PC．
（2）點M可能是線段PD的一個三等分點（靠近點D），再證明當M是線段PD的三等分點時，二面角M-AC-D的大小為45^°，設點B到平面MAC的距離是h，由S_△ABC•MN=S_△MAC•h，得$h=\sqrt{2}$，由此能求出BM與平面MAC所成的角．

解答 證明：（1）如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，
由已知$AD=CD=\sqrt{2}，BC=2\sqrt{2}$，
可得△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AP∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，
所以AB⊥PC．
解：（2）存在，觀察圖形特點，點M可能是線段PD的一個三等分點（靠近點D），
下面證明當M是線段PD的三等分點時，二面角M-AC-D的大小為45°，
過點M作MN⊥AD于N，則MN∥PA，則MN⊥平面ABCD．
過點M作MG⊥AC于G，連接NG，
則∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，
因為M是線段PD的一個三等分點（靠近點D），則$MN=\frac{2}{3}，AN=\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
在四邊形ABCD中求得$NG=\frac{2}{3}$，則∠MGN=45°，
所以當M是線段PD的一個靠近點D的三等分點時，二面角M-AC-D的大小為45°，
在三棱錐M-ABC中，可得${V_{M-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•MN$，
設點B到平面MAC的距離是h，${V_{B-MAC}}=\frac{1}{3}{S_{△MAC}}•h$，
則S_△ABC•MN=S_△MAC•h，解得$h=\sqrt{2}$，
在Rt△BMN中，可得$BM=2\sqrt{2}$，
設BM與平面MAC所成的角為θ，則$sinθ=\frac{h}{BM}=\frac{1}{2}$，
所以BM與平面MAC所成的角為30°．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．