Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，半焦距為c，直線x=-與x軸的交點(diǎn)為N，滿足，設(shè)A、B是上半橢圓上滿足的兩點(diǎn)，其中．
（1）求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍；
（2）過A、B兩點(diǎn)分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點(diǎn)P，試問：點(diǎn)P是否恒在某定直線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由于，
∴
解得a²=2，b²=1，從而所求橢圓的方程為=1．
∵三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，0）．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由消去x得，即．
根據(jù)條件可知解得，依題意取．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)韋達(dá)定理，得，
又由，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
，∴從而
從而消去y₂得．
令，則．
由于，所以φ'（λ）＜0．
∴φ（λ）是區(qū)間上的減函數(shù)，從而，
即，∴，解得，而，∴．
故直線AB的斜率的取值范圍是．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則可得切線PA的方程是，
而點(diǎn)A（x₁，y₁）在此切線上，有即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²，
又∵A在橢圓上，∴有x₀x₁+2y₀y=2，①同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2．②
根據(jù)①和②可知直線AB的方程為，x₀x+2y₀y=2，而直線AB過定點(diǎn)N（-2，0），∴-2x₀=2?x₀=-1，
因此，點(diǎn)P恒在直線x=-1上運(yùn)動(dòng)．
分析：（1）依據(jù)題意聯(lián)立方程求得a，b，則拖得方程可得．根據(jù)判斷出A，B，N三點(diǎn)共線，進(jìn)而設(shè)出直線AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)韋達(dá)定理，可表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用求得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），聯(lián)立方程組消去y₂，求得λ和k的關(guān)系，令進(jìn)而進(jìn)行求導(dǎo)，推斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)λ的范圍求得k的范圍．
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得PA的方程，把點(diǎn)A代入，同時(shí)代入橢圓的方程，推斷出直線AB的方程，根據(jù)其過定點(diǎn)求得x₀，進(jìn)而推斷出點(diǎn)P恒在直線x=-1上運(yùn)動(dòng)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，平時(shí)應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)復(fù)習(xí)訓(xùn)練．