Question

（19）如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDDEF所在平面外一點，PA=1，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。

（Ⅰ）證明PA⊥BF：

（Ⅱ）求面APB與面DPB所成二面角的大小。

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關系、二面角及其平面角等有關知識，考查思維能力和空間想象能力；考查應用向量知識解決立體幾何問題的能力.

方法一

連結,則易知與的交點為

 

(Ⅰ)證法1：

又平面ABC，

由三垂線定理得.

證法2：

平面

平面

.

（Ⅱ）解：設為的中點，連結

在中

斜線在平面內的射影為

由三垂線定理得

又平面

平面

因此，為所求二面角的平面角.

在正六邊形中，

在Rt中，

在Rt中，則

在中，由余弦定理得

因此，所求二面角的大小為

方法二

由題設條件，以為原點建立空間直角坐標系，如圖.由正六邊形的性質，可得

在Rt中，

故因而有

（Ⅰ）證明：因

故所以

（Ⅱ）解：設為的中點，連結，則點的坐標為

因此，為所求二面角的平面角.

因此，所求二面角的大小為