Question

已知函數(shù)f（x）=

bx-a

ax

（a＞0，x＞0）的圖象過點(diǎn)（a，0）．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0．+∞）上的單調(diào)并用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明；
（2）若a＞

1

5

函數(shù)f（x）在[

1

5a

，5a]上的值域是[

1

5a

，5a]，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得f（x），再由單調(diào)性的定義，即可證得f（x）在（0．+∞）上為增函數(shù)；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值，解方程，即可求得a．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

bx-a

ax

（a＞0，x＞0）的圖象過點(diǎn)（a，0），
則0=

ab-a

ab

，則b=1，則f（x）=

x-a

ax

=

1

a

-

1

x

，
f（x）在（0．+∞）上為增函數(shù)，
理由如下：設(shè)0＜m＜n，則f（m）-f（n）=

1

a

-

1

m

-（

1

a

-

1

n

）
=

m-n

mn

，由于0＜m＜n，則m-n＜0，mn＞0，則f（m）-f（n）＜0，
則f（x）在（0．+∞）上為增函數(shù)；
（2）由于f（x）在（0．+∞）上為增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在[

1

5a

，5a]上的值域是[f（

1

5a

），f（？5a）]，
即有

1 a -5a= 1 5a 1 a - 1 5a =5a

，解得，a=

2

5

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．