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(理)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(-1)(an+2),n=1,2,3,….

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列{bn}中b1=2,bn+1=,n=1,2,3,….證明＜bn≤a4n-3,n=1,2,3,….

答案：(理)解：(1)由題設(shè):an+1=()(an+2)=()(an-)+()(2+)

=(1)(an-)+,an+1-=()(an-).

所以數(shù)列{an-}是首項(xiàng)為2-,公比為的等比數(shù)列,an-=()n,

即an的通項(xiàng)公式為an=2[()n+1],n=1,2,3,….

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=1時(shí),因＜2,b1=a1=2,所以＜b1≤a1,結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即＜bk≤a4k-3,也即0＜bk-≤a4k-3-.當(dāng)n=k+1時(shí),

bk+1-==＞0,

又,

所以bk+1=＜(3)2(bk)≤(-1)4(a4k-3)

=a4k+12,

也就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立.根據(jù)①②,知＜bn≤a4n-3,n=1,2,3,….

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-n2(n∈N*)，則當(dāng)n＞2時(shí)有(    )

A．nan＜Sn＜na1        B．Sn＜nan＜na1        C．nan＞Sn＞na1       D．Sn＞na1＞nan

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2),

(1)判斷{}是否為等差數(shù)列?并證明你的結(jié)論;

(2)求Sn和an;

(3)求證:S12+S22+…+Sn2≤.

(文)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn(n∈N*),點(diǎn)(an,Sn)在直線y=2x-3n上.

(1)求證:數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(3)數(shù)列{an}中是否存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)?若存在,求出一組適合條件的三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn與an滿足關(guān)系式：nSn+1=(n+2)Sn+an+2(n∈N+).

(1)若a1=0,求a2、a3的值；

(2)求證：a1=0是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件.

(文)如圖，直線l:y=(x-2)和雙曲線C：=1(a＞0,b＞0)交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，又l關(guān)于直線l1:y=x對(duì)稱的直線l2與x軸平行.

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)求雙曲線C的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)已知數(shù)列{an}中,a1=t(t≠0且t≠1),a2=t2,當(dāng)x=t時(shí),函數(shù)f(x)=(an-an-1)x2-(an+1-an)x(n≥2)取得極值.

(1)求證:數(shù)列{an+1-an}(n∈N*)是等比數(shù)列;

(2)記bn=anln|an|(n∈N*),當(dāng)t=時(shí),數(shù)列{bn}中是否存在最大項(xiàng).若存在,是第幾項(xiàng)?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(文)已知等比數(shù)列{xn}各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù),數(shù)列{yn}滿足=2(a＞0且a≠1),設(shè)y3=18,y6=12.

(1)求證:數(shù)列{yn}是等差數(shù)列;

(2)若存在自然數(shù)M,使得n＞M時(shí),xn＞1恒成立,求M的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意n∈N*,滿足關(guān)系Sn=2an-2.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且bn=,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,總有Tn＜2;

(3)在正數(shù)數(shù)列{cn}中,設(shè)(cn)n+1=an+1(n∈N*),求數(shù)列{lncn}中的最大項(xiàng).

(文)已知數(shù)列{xn}滿足xn+1-xn=()n,n∈N*,且x1=1.設(shè)an=xn,且T2n=a1+2a2+3a3+…+ (2n-1)a2n-1+2na2n.

(1)求xn的表達(dá)式;

(2)求T2n;

(3)若Qn=1(n∈N*),試比較9T2n與Qn的大小,并說(shuō)明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案