Question

10．己知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足α_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*），若不等式S_2n-S_n＞$\frac{m}{24}$，對(duì)于n∈N^*恒成立，則自然數(shù)m的最大值為11．

Answer 1

分析 通過記T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，利用作差法可知數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，記T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，
∵T_n+1-T_n=（$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$+$\frac{1}{n+n+1}$+$\frac{1}{n+n+2}$）-（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$）
=$\frac{1}{n+n+1}$+$\frac{1}{n+n+2}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{n+n+1}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$
＞0，
∴數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n取最小值T₁=S₂-S₁=${a}_{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＞$\frac{m}{24}$，即m＜12，
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．