Question

如圖，橢圓上的點M與橢圓右焦點F₁的連線MF₁與x軸垂直，且OM（O是坐標(biāo)原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）F₂是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：∠F₁CF₂≤；
（3）過F₁且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若△PF₂Q的面積是20，求此時橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可表示出M的坐標(biāo)，進而表示出直線OM的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的關(guān)系進而求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．
（2）利用橢圓的定義可表示出|F₁C|+|F₂C|，進而利用余弦定理表示出cos∠F₁CF₂，利用基本不等式可知求得cos∠F₁CF₂的范圍進而求得∠F₁CF₂的范圍．
（3）設(shè)出直線PQ的方程，代入橢圓方程消去x整理后利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁•y₂，進而求得|y₁-y₂|代入三角形面積公式求得求得c，進而可分別求得a和b，則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）易得，∴，∴．
（2）證明：由橢圓定義得：=．，
∴，∴．
（3）解：設(shè)直線PQ的方程為（x-c），即y=-．
代入橢圓方程消去x得：，
整理得：，∴．
∴，
因此a²=50，b²=25，所以橢圓方程為．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問題和計算能力．