Question

【題目】已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線(xiàn)段QN的垂直平分線(xiàn)MQ于點(diǎn)P.

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程

(II)若A是軌跡E的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D（-3，8）的直線(xiàn)l與軌跡E交于B，C兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)AB、AC的斜率之和為定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見(jiàn)證明

【解析】

（Ⅰ）線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，所以，則為定值，所以P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，結(jié)合題中數(shù)據(jù)求出橢圓方程即可；（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理，寫(xiě)出化簡(jiǎn)可得定值.

解：（Ⅰ）由題可知，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，

所以，則，

所以P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)該橢圓方程為，

則，所以，

可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)斜率存在且不為0，

故可設(shè)l的方程為，，

由得，

而

由于直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，

所以（即為定值）