Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥BD，且BC∥平面PAD．
（1）求證：PB⊥BC；
（2）若tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，CD=5，PD=3，AD=6，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AD⊥平面PBD，可得AD⊥PB，利用BC∥平面PAD，可得BC∥AD，即可證明：PB⊥BC；
（2）以D為原點，DA，DB，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，求出平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線PA與平面PCD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴AD⊥PD，
∵AD⊥BD，PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，
∴AD⊥PB，
∵BC∥平面PAD，底面ABCD∩平面PAD=AD，BC?底面ABCD，
∴BC∥AD，
∴PB⊥BC；
（2）解：由（1）可知，∠DBC=90°，
∵tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，CD=5，∴BC=3，BD=4，
以D為原點，DA，DB，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，則D（0，0，0），A（6，0，0），P（0，0，3），C（-3，4，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（6，0，-3），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{DC}$=（-3，4，0），
設(shè)平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
由$\left\{\begin{array}{l}{3z=0}\\{-3x+4y=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（（4，3，0），
設(shè)直線PA與平面PCD所成角為θ，則sinθ=$\frac{24}{\sqrt{36+0+9}•\sqrt{16+9+0}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{25}$，
∴直線PA與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{8\sqrt{5}}{25}$．

點評 本題考查線面平行、垂直的判定、性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用向量法是關(guān)鍵．