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4．設(shè)a≥b≥0，求證：a3+b3≥$\sqrt{ab}$（a2+b2）．

分析 對(duì)不等式兩邊平方，利用分析法證明．

解答 證明：要證：a3+b3≥$\sqrt{ab}$（a2+b2），
只需證：a6+b6+2a3b3≥ab（a4+b4+2a2b2），
即證：a6+b6-a5b-ab5≥0，
只需證：a5（a-b）+b5（b-a）≥0，
即證：（a-b）（a5-b5）≥0，
∵a≥b≥0，
∴（a-b）（a5-b5）≥0恒成立，
∴a3+b3≥$\sqrt{ab}$（a2+b2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明方法，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．若函數(shù)f（x）=tan（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，則函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�
A．（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$）B．（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$）C．（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）D．（-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+\frac{3}{2}$．
（1）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）已知ω＞0，函數(shù)$g（x）=f（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{12}）$，若函數(shù)g（x）在區(qū)間$[{-\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}}]$上是增函數(shù)，求ω的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=2x+2y．
（1）求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值；
（2）是否存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=10？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．如圖，△AOB為等腰直角三角形，OA=l，OC為斜邊AB的髙，點(diǎn)P在射線OC 上，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值為（　�。�
A．-1B．-$\frac{1}{4}$C．-$\frac{1}{8}$D．0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．已知（$\frac{1}{2}$）x＜（$\frac{1}{2}$）y＜1，則下列不等關(guān)系一定成立的是（　�。�
A．2x＜2yB．log2x＜log2yC．x3＞y3D．cosx＜cosy

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．曲線f（x）=2x2+x-2在P0處的切線平行于直線y=5x-1，則點(diǎn)P0坐標(biāo)為（1，1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$的最小值是（　　）
A．-1B．$-\frac{4}{3}$C．$-\frac{3}{2}$D．-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處的極值為10．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域．

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同步練習(xí)冊(cè)答案