Question

如圖19，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=4，AA₁=3，分別過BC、A₁D₁的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為V₁=，V₂=，V₃=V.若V₁∶V₂∶V₃=1∶4∶1，試求截面A₁EFD₁的面積.

圖19

Answer 1

探究：利用體積關(guān)系得到面積的關(guān)系解決此類問題，且靈活應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想.截面A₁EFD₁為一個矩形,求其面積只要求出A₁E的長度.注意到被兩平行平面分割而成的三部分都是棱柱，其體積比也就是在側(cè)面A₁B被分割成的三個圖形的面積比,于是容易得到各線段長度比進(jìn)而得到線段AE的長度,再利用勾股定理容易得到A₁E的長度.

解：因為V₁∶V₂∶V₃=1∶4∶1，又棱柱AEA₁—DFD₁，EBE₁A₁—FCF₁D₁，B₁E₁B—C₁F₁C的高相等，所以∶∶=1∶4∶1.

所以=×3×6=3，即×3×AE=3.所以AE=2.

在Rt△A₁AE中，A₁E==,

所以截面A₁EFD₁的面積為A₁E×A₁D₁=A₁E×AD=4.

答：截面A₁EFD₁的面積為4.