Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（4x+2π），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=f（4x+2π），x∈[0，$\frac{π}{2}$]時的最大值、最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$，∴T=4π．
∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]，k∈Z$，
故由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
求得$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$，
∴$f（x）的增區(qū)間為[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$．
（Ⅱ） 化簡函數(shù)y=f（4x+2π），可得$y=-2sin（2x+\frac{π}{6}），x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
故當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}即x=\frac{π}{2}$時，函數(shù)y=f（4x+2π）的最大值為1；
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}即x=\frac{π}{6}$時，函數(shù)y=f（4x+2π）的最小值為-2．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．