Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$
（I）求φ；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{8}$）sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$cos²x，求y=g（x）的最小正周期在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （I）由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的值．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)g（x）的解析式，從而求得函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的定義域和值域．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$，
∴f（0）=f（$\frac{π}{4}$），即sinφ=sin（$\frac{π}{2}$+π）=cosφ，∴φ=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{8}$）sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$cos²x=sin（x+$\frac{π}{2}$）sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$ 
=cosx•sinx-$\frac{cos2x}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故它的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
故函數(shù)f（x）的最大值為1．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性、和周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．