Question

3．已知偶函數(shù)f（x）（x≠0）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f（1）=0，當x＞0時，xf′（x）＜2f（x），則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$，利用導數(shù)得到，g（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$，
當x＞0時，$g'（x）=\frac{f'（x）•x-2•f（x）}{x^3}＜0$，
所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又f（x）為偶函數(shù)，
所以g（x）為偶函數(shù)，
又f（1）=0，所以g（1）=0，
故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函數(shù)值大于零，
即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函數(shù)值大于零．
故選：D．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想．解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過構(gòu)造函數(shù)解決．