Question

已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

（I）f'（x）=3x²-2ax．因為f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又當(dāng)a=0時，f（1）=1，f'（1）=3，則切點坐標(biāo)（1，1），斜率為3
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=3（x-1）化簡得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=

2a

3

．
當(dāng)

2a

3

≤0，即a≤0時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f_max=f（2）=8-4a．
當(dāng)

2a

3

≥2時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f_max=f（0）=0．
當(dāng)0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，

2a

3

]上單調(diào)遞減，在[

2a

3

，2]上單調(diào)遞增，從而fmax=

8-4a，0＜a≤2. 0，2＜a＜3.

綜上所述，fmax=

8-4a，a≤2. 0，a＞2.