Question

17．已知點(diǎn)A（-2，-1），B（2，1），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，點(diǎn)M的軌跡為曲線H．
（1）求曲線H的方程；
（2）過點(diǎn)P（-2，1）作斜率為k₁，k₂的兩條直線l₁，l₂分別與曲線H交于C，D兩點(diǎn)，且C，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)Q（-2，0）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂且d₁＞d₂，求k₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求曲線H的方程；
（2）確定${{k}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}$，利用d₁＞d₂，得$\frac{1}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$＞$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}+1}}$，即可求k₁的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），則$\frac{y+1}{x+2}•\frac{y-1}{x-2}$=-$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)，可得曲線H的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）PC的方程為y-1=k₁（x+2），PB的方程為y-1=k₂（x+2），
∵k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，∴${{k}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}$，
∵d₁＞d₂，
∴$\frac{1}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$＞$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}+1}}$，
∴$0＜{k}_{1}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．