Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點為F₁、F₂，M為雙曲線上一點，若

F1M

•

F2M

=0，且tan∠MF1F2=

1

2

，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．

  5

• D．

  5

  6

Answer 1

分析：根據(jù)F₁F₂為圓的直徑，推斷出∠F₁MF₂為直角，進而可推斷出tan∠MF₁F₂=

|MF2|

|MF1|

，求得|MF₁|的關系|MF₂|，設|MF₁|=t，|MF₂|=2t．根據(jù)雙曲線的定義求得a，利用勾股定理求得c，則雙曲線的離心率可得．

解答：解：∵

F1M

•

F2M

=0，∴

F1M

⊥

F2M

，∴tan∠MF₁F₂=

|MF2|

|MF1|

=

1

2

．
設|MF₁|=2t，|MF₂|=t，根據(jù)雙曲線的定義可知2a=2t-t=t，a=

1

2

t．
直角三角形MF₁F₂中，由勾股定理可得 4t²+t²=4c²，
∴c=

5

2

t．
故離心率等于

c

a

=

5

，
故選C．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，兩個向量垂直的條件，考查了基本的運算能力，屬于中檔題．