Question

已知等差數列{a_n}中，a₃+a₇＜2a₆且a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的兩根，數列{b_n}的前項和S_n=1-b_n。
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項的和T_n，并證明。

Answer 1

解：（1）由a₃+a₇=2a₅＜2a₆得a₅＜a₆，
所以數列{a_n}是遞增數列
所以a₃＜a₇
由x²-18x+65=0解得a₃=5，a₇=13
公差，
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-1（n∈N*）
由S_n=1-b_n得，當n=1時，；
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，得
所以{b_n}是首項為，公比為的等比數列，
所以。
（2）證明：由（1）得，
所以由錯位相減法得
因為
所以{T_n}是遞增數列，所以
故。