Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，若對任意x₂＞x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x在（0，+∞）遞減，即m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，求出m的范圍即可．

解答 解：若對任意x₂＞x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁恒成立，
即若對任意x₂＞x₁＞0，f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁恒成立，
即函數(shù)g（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x在（0，+∞）遞減，
g′（x）=$\frac{{-x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$≤0在（0，+∞）恒成立，
即m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，
而x-x²=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴m≥$\frac{1}{4}$，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．