Question

設函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：當x∈（1，+∞）時，

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求f（x）在x=1時的導數(shù)值，求出f（1），由直線方程點斜式得切線方程；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對a分小于等于0和大于0討論，當a＞0時由導函數(shù)的零點對函數(shù)定義域分段，根據(jù)導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）把要證明的不等式

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e轉化為lnx＜x-1，構造函數(shù)g（x）=lnx-x+1，由導數(shù)加以證明．

解答： （Ⅰ）解：當a=1時，f（x）=lnx-x，f（1）=-1，∴切點為（1，-1），
f′(x)=

1

x

-1，f′（1）=0，切線方程為y=-1；
（Ⅱ）解：f′(x)=

1-ax

x

，
∵x＞0
∴當a≤0時，f′（x）≥0，∴f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當a＞0時，

f′(x)＞0 x＞0

，得0＜x＜

1

a

，

f′(x)＜0 x＞0

，得x＞

1

a

，
∴f（x）的增區(qū)間為(0，

1

a

)，減區(qū)間為(

1

a

，+∞)；
（Ⅲ）證明：當x∈（1，+∞）時，要證明：

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e．
即證x

1

x-1

+1＜ex，即證x

x

x-1

＜ex，即證lnx

x

x-1

＜lnex．
即證

x

x-1

lnx＜x，
∵x＞1
即證lnx＜x-1，
令g（x）=lnx-x+1，
∵g′(x)=

1-x

x

＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（1）=0，
即lnx＜x-1，
∴當x∈（1，+∞）時，

x

ex-1

•x 

1

x-1

＜e．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學轉化思想方法，對于（Ⅲ）的證明，合理轉化是關鍵，是壓軸題．