Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx
（Ⅰ）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（Ⅰ）當a=2時，f(x)=

1

2

x2-2x+lnx
∴f′(x)=x-2+

1

x

∴f(1)=

1

2

-2=-

3

2

，f'（1）=0
切線方程為y=-

3

2

…（4分）
（Ⅱ）定義域（0，+∞）
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+(a-1)

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

令f'（x）=0，解得x₁=1，x₂=a-1
①當a=2時，f'（x）≥0恒成立，則（0，+∞）是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
②當a＞2時，a-1＞1，
在區(qū)間（0，1）和（a-1，+∞）上，f'（x）＞0；在（1，a-1）區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a-1）
③當1＜a＜2時，在區(qū)間（0，a-1）和（1，+∞）上，f'（x）＞0；在（a-1，1）區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a-1，1）
④當a≤1時，a-1≤0，在區(qū)間（0，1）上f'（x）＜0，在區(qū)間（1，+∞）上，f'（x）＞0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
總之，當a=2時，（0，+∞）是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
②當a＞2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a-1）
③當1＜a＜2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a-1，1）
④當a≤1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．…（13分）