Question

已知數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判斷數(shù)列{a_n+1}是否為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若．
證明：
（i）；
（ii）T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），a₁+1=t+1，結(jié)合等比數(shù)列的定義，考慮t的取值，即可判斷
（II）當(dāng)t=1時(shí)，由（I）知，則可求，代入求出c_n，然后利用裂項(xiàng)即可求和，可證
解答：解（I）由題意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）
∵a₁+1=t+1
∴當(dāng)t=-1時(shí)，數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列
當(dāng)t≠-1時(shí)，數(shù)列{a_n+1}是以t+1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
（II）當(dāng)t=1時(shí)，由（I）知
∴
∴===
∴
=1-＜1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了 等比數(shù)列的 定義及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用．