Question

直線l經(jīng)過點(1,1),若拋物線y²=x上存在兩點關于直線l對稱,求直線l斜率的取值范圍.

Answer 1

解法一：設直線l的方程為y-1=k(x-1),弦的兩個端點分別是A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),代入拋物線方程并作差得(y₁+y₂)(y₁-y₂)=x₁-x₂.

    ∵k_AB==-,

    ∴y₁+y₂=-k.注意到AB的中點在直線l:y-1=k(x-1)上,

    ∴x₁+x₂=1-.

   ∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=1-.

    由y₁²+y₂²＞,得1-＞＜0-2＜k＜0.

解法二：設拋物線上關于直線l:y-1=k(x-1)對稱的兩點為(y₁²,y₁)、(y₂²,y₂),則

   

   

    y₁y₂=+-,

    ∴y₁、y₂是方程y²+ky++-=0的兩根.

    由Δ=k²-4(+-)＞0

    ＜0

    -2＜k＜0.