Question

6．三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（　　）

• A． 48π
• B． 12π
• C． 4$\sqrt{3}$π
• D． 32$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 證明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖，則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．算出長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的表面積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，
∴△PAB≌△PAC≌△PBC
∵PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PB⊥PC
以PA、PB、PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖
則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$，
∴球直徑為2$\sqrt{3}$，半徑R=$\sqrt{3}$，
因此，三棱錐P-ABC外接球的表面積是4πR²=4π×（$\sqrt{3}$）²=12π
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求它的外接球的表面積，著重考查了長(zhǎng)方體對(duì)角線公式和球的表面積計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．