Question

如圖,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是邊長為的正方形,且PD=,PA=PC=.

(1)求證:直線PD⊥面ABCD;

 (2)求二面角A－PB－D的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析   （2）二面角A-PB-D的平面角為

【解析】(1) 本小題可通過證，和來達(dá)到證明直線PD⊥面ABCD的目的.（2）解決本小題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，取AP中點H，過H作于G，連結(jié)DG.則為所求二面角平面角,然后解三角形求角即可

（1）在中，，即，同理又AD、CD平面ABCD，直線PD…5分

（2）解法一：如圖,連結(jié)AC和BD，設(shè) 

由（1）知，又，且PD、BD平面PBD，直線AC平面PBD，………6分

過點O作E為垂足，連結(jié)AE，由三垂線定理知， 為二面角A-PB-D的平面角………8分

AB，所以面ABCD，故ABPD，從而AB面PAD，故ABPA，

在中，………………10分

在中，在中，

二面角A-PB-D的平面角為.…………12分

解法二：取AP中點H，過H作于G，連結(jié)DG

則為所求二面角平面角，

解法三：利用空間向量