Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-a|（a∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)a＞0時，寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值M（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）由奇偶性定義判定f（x）是定義域上的偶函數(shù)；
（2）a＞0時，畫出f（x）的圖象，得出f（x）的遞減區(qū)間；
（3）討論a的取值，求出f（x）的最大值f_max（x）的表達(dá)式，即得M（a）．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x²-a|（a∈R），
且任取x∈R，有f（-x）=|（-x）²-a|=|x²-a|=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)a＞0時，畫出f（x）=|x²-a|的圖象如圖，
由圖象知f（x）在(-∞，-

a

]，[0，

a

]上單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)a≤0時，f（x）=x²-a，
∴f_max（x）=1-a；
當(dāng)a≥1時，

a

≥1，
∴f（x）在[-1，0]上遞增，在[0，1]上遞減，f_max（x）=a；
當(dāng)0＜a＜1時，由f(1)≥f(0)得a≤

1

2

，
∴0＜a≤

1

2

時，f_max（x）=1-a；

1

2

＜a＜1時，f_max（x）=a；
綜上述：最大值M(a)=

1-a，a≤ 1 2 a，a＞ 1 2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．