Question

已知橢圓 的離心率為 ，且過點

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若 ．

(i)求 的最值：

（i i）求證：四邊形ABCD的面積為定值．

 

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) （�。�2， （i i）見解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由離心率為 知= ，將點 代入橢圓方程，又可得到關(guān)于a，b的方程，結(jié)合即可求出的值，得到橢圓方程；(Ⅱ) （ⅰ）設出點A，B的坐標及直線AB的方程，將直線AB的方程代入橢圓方程，化為關(guān)于x的二次方程，利用點A、B的橫坐標分別為該二次方程的解，則判別式大于等于0，且利用韋達定理，將橫坐標之和和之積用參數(shù)表示出來，利用直線的斜率公式將直線OA、OB的斜率用參數(shù)表示出來，在利用條件找出參數(shù)的關(guān)系式，利用向量數(shù)量積坐標公式將用參數(shù)表示出來，將其化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最值的方法的最值；（i i）由橢圓的對稱性知四邊形ABCD為平行四邊形，故四邊形ABCD的面積化為4個△OAB，利用點到直線距離公式距離公式和弦長公式求出△AOB為定值，就證明了四邊形ABCD的面積為定值．

試題解析：(Ⅰ)由題意又

解得，故橢圓的標準方程為 （4分）

(Ⅱ)設直線AB的方程為

聯(lián)立，得

①

又===，

(8分)

（�。�

當（此時滿足①式），即直線AB平行于軸時，

的最小值為－2．

又直線AB的斜率不存在時，，∴的最大值為2．

（ⅱ）設原點到直線AB的距離為，則

==

====，

∴S四邊形ABCD = 4SΔAOB = ，

即四邊形ABCD的面積為定值． ．（12分）

考點：橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積，設而不求思想，運算求解能力