Question

已知定義在閉區(qū)間[-3，3]上的兩個函數(shù)：g（x）=2x³+5x²+4x，f（x）在[-3，3]的值域為[-k-8，-k+120]，若對于任意x₁∈[-3，3]，總存在x₀∈[-3，3]使得g（x₀）=f（x₁）成立，求k的取值范圍是

[9，13]

．

Answer 1

分析：由g（x）=2x³+5x²+4x，知g′（x）=6x²+10x+4，令g′（x）=6x²+10x+4=0，得x=-1或x=-

2

3

，列表討論得g（x）在閉區(qū)間[-3，3]上的值域為[-21，111]．由f（x）在[-3，3]的值域為[-k-8，-k+120]，若對于任意x₁∈[-3，3]，總存在x₀∈[-3，3]使得g（x₀）=f（x₁）成立，知

-k-8≥-21 -k+120≤111

，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：∵g（x）=2x³+5x²+4x，
∴g′（x）=6x²+10x+4，
令g′（x）=6x²+10x+4=0，得x=-1或x=-

2

3

，
列表討論：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，3）	3
f′（x）	+	+	0	-	0	+	+
f（x）	↑	↑	極大值	↓	極小值	↑	↑

∵g（-3）=2×（-27）+5×9+4×（-3）=-21，
g（-1）=2×（-1）+5×1+4×（-1）=-1，
g（-

2

3

）=2×（-

8

27

）+5×

4

9

+4×(-

2

3

)=-

28

27

，
g（3）=2×27+5×9+4×3=111．
∴g（x）在閉區(qū)間[-3，3]上的值域為[-21，111]．
∵f（x）在[-3，3]的值域為[-k-8，-k+120]，
若對于任意x₁∈[-3，3]，總存在x₀∈[-3，3]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
∴

-k-8≥-21 -k+120≤111

，
解得9≤k≤13．
故答案為：[9，13]．

點評：本題考查閉區(qū)間上函數(shù)最值的求法和應用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．