Question

10．已知定義在[-3，3]上的函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）x，在x=±1處的切線斜率均為-1．有以下命題：
①f（x）是奇函數(shù)；
②若f（x）在[s，t]內(nèi)遞減，則|t-s|的最大值為4；
③若方程f（x）-m=0有三個(gè)根，則m的取值范圍是$（-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}，\frac{{16\sqrt{3}}}{9}）$；
④若對(duì)?x∈[-3，3]，k≤f′（x）恒成立，則k的最大值為3．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f（0）=0，f′（1）=f′（-1）=-1，代入可求a，b，進(jìn)而可求f（x）．
①由于f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)；
②若f（x）在[s，t]內(nèi)遞減，則t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，s=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，|t-s|的最大；
③由f（x）的極值，可得直線y=m和曲線y=f（x）x∈[-3，3]有三個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)為m介于極小值和極大值之間；
④若對(duì)?x∈[-3，3]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，23]，則k≤f′（x）恒成立，則k≤f′（x）_min即可求解k．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx，在定義域x∈[-3，3]上表示的曲線過原點(diǎn)，
∴f（0）=0，
∵f′（x）=3x²+2ax+b，且在x=±1處的切線斜率均為-1．
∴f′（1）=f′（-1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=-1}\\{3-2a+b=-1}\end{array}\right.$，解得b=-4，a=0，
∴f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
對(duì)于①，∵f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)；①正確；
對(duì)于②，由f′（x）≥0得x≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，f（x）在[-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]內(nèi)單調(diào)遞減，
若f（x）在[s，t]內(nèi)遞減，則t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，s=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)|t-s|的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由②的分析可得，x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）取得極大值$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）取得極大值-$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
結(jié)合單調(diào)性，可得方程f（x）-m=0有三個(gè)根，即為直線y=m和曲線y=f（x）x∈[-3，3]有三個(gè)交點(diǎn)，
則m的取值范圍是$（-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}，\frac{{16\sqrt{3}}}{9}）$，則③正確；
對(duì)于④，若對(duì)?x∈[-3，3]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，23]，則k≤f′（x）恒成立，則k≤-4，
則k的最大值為-4．④錯(cuò)誤．
正確命題的序號(hào)為①③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性等知識(shí)的綜合應(yīng)用．屬于中檔題和易錯(cuò)題．