Question

3．在某個底面邊長為n（n∈Z，n≥4）的正方形箱子中放置一層直徑為1的小球．
放置方案1：采用如圖1所示方法，中間每個小球周圍的4個球都外切．
放置方案2：采用圖2所示的方法，中間的每個球比周圍的6個球都外且
給出下列五個結(jié)論：
①方案1放的球一定比方案2放的球多；
②方案2放的球一定不少于方案1放的球；
③當n≥8時，方案2放的球一定比方案1放的球多；
④當n≤8時，方案1放的球一定比方案2放的球多；
⑤當n=8時，方案1放的球比方案2放的球一樣多．
試判斷以上結(jié)論的真假性，并說明理由．

Answer 1

分析 由已知中的兩種方案，可得當n≤8時，方案1放的球一定比方案2放的球多，當n≥9時，方案2放的球一定比方案1放的球多，進而得到答案．

解答 解：方案1中，可放置n²個球，
方案2中，當?shù)酌孢呴L為n時，前n行球的總高度為：（n-1）$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
且偶數(shù)行少放一個球，
則前n行共放置$\left\{\begin{array}{l}{n}^{2}-\frac{1}{2}n，n為偶數(shù)\\{n}^{2}-\frac{1}{2}（n-1），n為奇數(shù)\end{array}\right.$個球，
令[（n-1）$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1]+1＜n，
解得：n＞2$\sqrt{3}$+5，
即n=9時，方案2可以多放一排，此時方案2，可放球86個，
故當n≤8時，方案1放的球一定比方案2放的球多，
當n≥9時，方案2放的球一定比方案1放的球多，
故④正確．

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，本題方案二放球個數(shù)比較難度理解，屬于中檔題．