Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足遞推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；  
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+1變形為：a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由${a_n}={2^n}-1$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：由a_n=2a_n-1+1變形為：a_n+1=2a_n-1+2，即a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：∵${a_n}={2^n}-1$，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n$
=2ⁿ⁺¹-2-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．