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已知二次函數(shù).

（1）若對任意、，且，都有，求證：關(guān)于的方程

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且必有一個(gè)根屬于；

（2）若關(guān)于的方程在上的根為，且，設(shè)函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，求證：.

 

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先構(gòu)造新函數(shù)，利用證明方程

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后利用存在定理證明方程必有一個(gè)根屬于，即利用來證明；（2）將的代入方程得到的表達(dá)式，結(jié)合證明.

試題解析：（1）構(gòu)造函數(shù)

，

由于函數(shù)為二次函數(shù)，所以，

對于二次函數(shù)而言，

，

若，則有且有，從而有，這與矛盾，

故，故方程有兩個(gè)不相等，

由于，

，

所以，

由零點(diǎn)存在定理知，方程必有一個(gè)根屬于；

（2）由題意知，化簡得，

即，則有，，

由于，則，故，即.

考點(diǎn)：1.二次方程根的個(gè)數(shù)的判斷；2.零點(diǎn)存在定理；3.二次函數(shù)圖象的對稱軸

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，在 [ – 1，1 ] 上的最大值為，求的最小值；

（2）對于任意的，總有，求a的取值范圍；

（3）若當(dāng)時(shí)，記，令a = 1，求證：成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)－4x+1,x∈［3,4］，則其最大值為    ，最小值為    .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2 1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算練習(xí)卷（解析版） 題型：選擇題

已知二次函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值為1，則該函數(shù)的最大值是      （   ）

A．         B.        C．          D.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

(本小題12分)   已知二次函數(shù)。

（1）指出圖像的開口方向、對稱軸方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）畫出它的圖像，并說明其圖像由的圖像經(jīng)過怎樣平移得來；

（3）求函數(shù)的最大值或最小值；

（4）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不必證明）。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年度新課標(biāo)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)單元測試12-理科-算法、復(fù)數(shù)、推理與證明 題型：解答題

 已知二次函數(shù)．

（1）若，試判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若對且，，試證明，使

成立。

（3）是否存在，使同時(shí)滿足以下條件①對，且；②對,都有。若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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