Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1（a∈R）
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）=0在x∈[0，1]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，題干討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出其單調(diào)區(qū)間；（2）題干討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得：x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$，
f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-$\sqrt{a}$）遞增，在（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得：
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[0，1]遞增，∴f（x）≤f（1），
∴滿足f（1）≤0即可，解得：a=0，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[0，$\sqrt{a}$]遞減，在[$\sqrt{a}$，1]遞增，
∴滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$即可，解得：0＜a＜1，
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，f（x）≤f（0），
∴f（x）≤0恒成立，
故實(shí)數(shù)a的范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．