Question

3．函數(shù)y=lnx（x＞0）的圖象與直線$y=\frac{1}{2}x+a$相切，則a等于ln2-1．

Answer 1

分析 根據(jù)切點(diǎn)在曲線上，可以設(shè)切點(diǎn)P（m，lnm），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以得到切線的斜率a=y′|_x=m，再由切點(diǎn)在切線上，可以得到lnm=a+$\frac{1}{2}$m，解兩個方程，即可得到a的值．

解答 解：根據(jù)切點(diǎn)P在曲線上，
∴設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，lnm），
∵函數(shù)y=lnx，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得到，切線的斜率k=y′|_x=m=$\frac{1}{m}$=$\frac{1}{2}$，①
又切點(diǎn)P（m，lnm）在切線y=$\frac{1}{2}$x+a上，
∴l(xiāng)nm=a+$\frac{1}{2}$m，②
由①②，解得m=2，a=ln2-1，
故答案為：ln2-1．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．屬于中檔題．