Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}+{n}^{2}+n}{n}$．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=2ⁿn²-n³，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}+{n}^{2}+n}{n}$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，即可證明．
（2）由（1）可得：a_n=n²．代入a_nb_n=2ⁿn²-n³，可得：b_n=2ⁿ-n．再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}+{n}^{2}+n}{n}$，∴a_n+1=$\frac{（n+1）}{n}{a}_{n}$+（n+1），∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列，首項與公差都為1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，∴a_n=n²．
∵a_nb_n=2ⁿn²-n³，
∴n²b_n=2ⁿn²-n³，∴b_n=2ⁿ-n．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．