Question

（2011•杭州一模）設(shè)f（n）=

n2，(n為奇數(shù)) -n2，(n為偶數(shù))

（n∈N⁺），若a_n=f（n）+f（n+1），則a₁+a₂+…+a_k=

k，(k為偶數(shù)) -k-2，(k為奇數(shù))

（k∈N⁺）

Answer 1

分析：先求出通項公式a_n，然后兩項一組，求數(shù)列的前k項的和．

解答：解：∵a_n=f（n）+f（n+1），
∴由已知條件知，an=

n2-(n+1)2=-(2n+1)  ， n是奇數(shù) -n2+(n+1)2= 2n+1   ， n是偶數(shù)

，
∴an=(-1)n•(2n+1)，∴a_n+a_n+1=2（n是奇數(shù)）．
當(dāng)k為奇數(shù)時，a₁+a₂+…+a_k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_k-2+a_k-1）+a_k=2×

k-1

2

+（-2k-1）=-k-2．
當(dāng)k為偶數(shù)時，a₁+a₂+…+a_k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_k-1+a_k）=2×

k

2

=k．
綜上可得 a₁+a₂+…+a_k=

k，(k為偶數(shù)) -k-2，(k為奇數(shù))

，
故答案為

k，(k為偶數(shù)) -k-2，(k為奇數(shù))

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和前n項和的求法，須注意對通項公式和問題的靈活變形，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．