Question

12．已知x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則$\frac{y}{x-a}$的取值范圍是[$\frac{1}{8}$，$\frac{2}{7}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，根據(jù)可行域和最優(yōu)解的個數(shù)得出a的值，利用$\frac{y}{x-a}$的幾何意義得出答案．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖：

當(dāng)a=0時，顯然z=x+ay只有一個最優(yōu)解，不符合題意，
當(dāng)a＞0時，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$，
∴當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$經(jīng)過點A時截距最小，即z最小，
顯然最優(yōu)解只有一個，不符合題意．
當(dāng)a＜0時，由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$，
∵z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，
∴當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}x$+$\frac{z}{a}$與直線AB：x-3y+2=0重合時，截距最大，即z最�。�
∴a=-3．
設(shè)D（-3，0），k=$\frac{y}{y-a}=\frac{y}{x+3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{y=1}\end{array}\right.$得C（5，1）．解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\{x-3y+2=0}\end{array}\right.$得B（4，2）．
∴k_CD=$\frac{1-0}{5+3}$=$\frac{1}{8}$，k_BD=$\frac{2-0}{4+3}$=$\frac{2}{7}$．
∴$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{2}{7}$．
故答案為[$\frac{1}{8}$，$\frac{2}{7}$]．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，根據(jù)可行域得出a的值是解題關(guān)鍵．