Question

在△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大��；
 （Ⅱ）若a=2，求△ABC周長(zhǎng)的最大值及相應(yīng)的b，c值．

Answer 1

（Ⅰ）∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
由正弦定理及余弦定理得a×

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b
∴a²=b²+c²-bc
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

另∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC
∵A∈（0，π），
∴sinC≠0，
從而cosA=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

（Ⅱ） 由已知及（Ⅰ）知得  
4=a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
4≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2
∴b+c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取“=”．
∴當(dāng)b=c=2時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最大值為6